构造数列

构造 $n$ 个不同的整数，满足三个条件：

• 条件 ①：任意两个数的 $\gcd \neq 1$（两两不互质）
• 条件 ②：所有 $n$ 个数的 $\gcd = 1$（没有公共因子）
• 条件 ③：互不相同

条件 ① 和 ② 看起来矛盾？其实不然——两两之间有公共因子，但全体没有同一个公共因子。

---

以 $n=3$ 为例，三个质数 $2,3,5$：

令 $P = 2 \times 3 \times 5 = 30$。每个数是 $P$ 除以一个质数：

• $a_1 = 30 / 2 = 15$
• $a_2 = 30 / 3 = 10$
• $a_3 = 30 / 5 = 6$

验证：

• $\gcd(15,10)=5 \neq 1$ ✓（都有因子 5）
• $\gcd(10,6)=2 \neq 1$ ✓（都有因子 2）
• $\gcd(15,6)=3 \neq 1$ ✓（都有因子 3）
• $\gcd(15,10,6)=1$ ✓（15缺2，10缺3，6缺5，没有公共因子）
• 互不相同 ✓

💡 每个数缺不同的质数 → 两两总能找到共同缺的质数之外的因子，但全体没有共同因子。